Question

如图．已知一次函数y=x-2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，以线段AB为边作正方形ABCD如图所示．
（1）求线段AB的长；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P（-1，m）是平面直角坐标系中的一点，且△PAB的面积等于正方形面积的

1

2

，若二次函数的图象经过P、B、D三点，求这个二次函数的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据题意将一次函数y=x-2的x、y分别等于0，即可求得A、B两点的坐标；
（2）过D作DE⊥x轴交x轴与E点，根据正方形的性质便可求得D点坐标；
（3）先求出P点坐标，然后将P、B、D三点坐标代入二次函数解析式y=ax²+bx+c，即可求得二次函数解析式．

解答：解：（1）一次函数y=x-2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
当y=0时，x=2，当x=0时，y=-2；
故A、B两点的坐标为A（2，0），B（0，-2），
AB=

OA2+OB2

=2

2

；

（2）过D作DE⊥x轴交x轴于E点，
正方形ABCD的边长AB=2

2

，
AD=AB，故D点的纵坐标与B点一样应为-2，
AE=OA=2，∴OE=OA+AE=4，故D点的横坐标为4，
故D点坐标为D（4，-2）；

（3）S_□ABCD=2

2

×2

2

=8，S_△PAB=

1

2

S_□ABCD=4，
故AB边上的高应为2

2

，
①如图2，过点P作PH⊥AB于H，AB交x=-1于点M，
∵直线AB为：y=x-2，
∴∠PMA=45°，
∵PH=2

2

，
∴PM=

2

PH=4，
∴P点坐标为P（-1，1），
设经过P、B、D三点的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
将P、B、D三点坐标代入二次函数解析式可得

1=a-b+c -2=c -2=16a+4b+c

，
解得

a= 3 5 b=- 12 5 c=-2

，
故二次函数的解析式为y=

3

5

x²-

12

5

x-2．
②如图2，过点P′作P′H′⊥AB延长线于点H′．
同理求得P′（-1，-7）．则过P、B、D三点的二次函数的解析式为y=-x²+4x-2．
综上所述，符合条件的抛物线的解析式是：y=

3

5

x²-

12

5

x-2或y=-x²+4x-2．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题，题中涉及用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，解答要注意数形结合思想的运用，是各地中考的热点，同学们要加强训练，属于中档题．