Question

【题目】如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC于点 D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；

（3）求线段PE的最大值；

（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（1，4）或P（2，3）；（3）（﹣）或（）

【解析】

（1）由于抛物线与x轴的两个交点坐标已知，可把抛物线的解析式设成交点式，再代入另一已知点坐标便可求出解析式；

（2）过A作EF⊥x轴，与BC相交于点F，用待定系数法求出BC的解析式，设P点的横坐标为t，进而求得AF与PE，由相似三角形的比例线段求得t便可；

（3）根据PE关于t的函数解析式，由函数的性质求出其最大值便可；

（4）分两种情况：①当F点在PE的左边时，过点P作PM⊥BC于点M，过E作EN⊥x轴于点N，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点O作OG⊥AC于点G，取AC的中点H，连接OH，通过三角形相似求出MF的值便可；②将求得的F点坐标，关于PM对称点便是另一F点．

（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），

则3＝a×1×（﹣3），

∴a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），

即y＝﹣x2+2x+3；

（2）过A作EF⊥x轴，与BC相交于点F，如图1，设P（t，﹣t2+2t+3），

则AF∥PE，

设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），

则，

解得，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，

∴E（t，﹣t+3），F（﹣1，4），

∴AF＝4，PE＝﹣t2+3t，

∵AF∥PE，

∴△AFD∽△PED，

∴，

∵AD＝2PD，

∴，

解得，t＝1或2，

∴P（1，4）或P（2，3）；

（3）∵PE的解析式为：PE＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜3），

∴当t＝时，PE的值最大为；

（4）①当F点在PE的左边时，

过点P作PM⊥BC于点M，过E作EN⊥x轴于点N，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点O作OG⊥AC于点G，取AC的中点H，连接OH，

由（3）知，当PE取最大值时，P（，），PE＝，E（，），

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴BE＝EM＝，∠PEM＝45°，

∴PM＝EM＝，

∵AC＝，

∴OH＝CH＝，

OG＝，

∴HG＝，∠OHG＝2∠ACO，

∵∠EFP＝2∠ACO，

∴∠EFP＝∠OHG，

∵∠OGH＝∠PMF，

∴△OGH∽△PMF，

∴，即，

∴MF＝，

∴BF＝BE+EM+MF＝，

∴FQ＝BQ＝BF＝，

∴OQ＝，

∴F（﹣，），

②当F点在PE的右边时，此时的F点恰好与（﹣，）关于PM对称，易求此时F（，）．

故F的坐标为（﹣，）或（，）．