Question

12．已知菱形ABCD的周长为20cm，面积为20cm²，求对角线AC，BD的长．

Answer 1

分析 根据菱形的性质可得AB=BC=DC=AB=5cm，AC⊥DB，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，根据菱形的面积公式可计算出AC•BD=40，进而可得2AO•BO=20，根据勾股定理可得AO²+BO²=AB²=25，再利用完全平方公式进行计算即可．

解答 解：∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴AB=BC=DC=AB=5cm，
∵面积为20cm²，
∴$\frac{1}{2}$AC•BD=20，
∴AC•BD=40，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，
∴2AO•BO=20①，AO²+BO²=AB²=25②，
①+②得：（AO+BO）²=45，
AO+BO=3$\sqrt{3}$③，
②-①得：（AO-BO）²=5，
AO-BO=$\sqrt{5}$④，
③④组成方程组解得：$\left\{\begin{array}{l}{AO=2\sqrt{5}}\\{BO=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
∴AC=4$\sqrt{5}$，BD=2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形面积=$\frac{1}{2}$ab．（a、b是两条对角线的长度）．