Question

如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连结CD
（1）求证：DB平分∠ADC．
（2）若BE=5，ED=10，求AB的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）运用同弧或等弧所对的圆周角相等，即可解决问题．
（2）证明∠BAE=∠ADB，进而证明△ABE∽△DBA，问题即可解决．

解答：解：（1）如图，在⊙O中，
∵AB=BC，
∴

AB

=

BC

，
∴∠ADB=∠CDB，
∴DB平分∠ADC．

（2）如图，
∵

AB

=

BC

，
∴∠BAE=∠ADB，
又∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴AB：BD=BE：AB，
∴AB²=BE•BD，
∵BE=5，ED=10，
∴AB=5

3

．

点评：该题以圆为载体，以考查圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．