Question

如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
（1）求证：∠AOC=90°+

1

2

∠ABC；
（2）当∠ABC=90°时，且AO=3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=

1

2

∠BAC，∠OCA=

1

2

∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可．
（2）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，根据S_△AOM=

1

2

AO×MK，S_△MON=

1

2

ON×ML求出

AO

ON

=

AM

MN

，求出

AO

ON

=

AM

MN

=

3

1

，推出AN=

4

3

AM=

4

3

AE即可．

解答：（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=

1

2

∠BAC，∠OCA=

1

2

∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=

1

2

（∠BAC+∠BCA）=

1

2

（180°-∠ABC）=90°-

1

2

∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-

1

2

∠ABC），
即∠AOC=90°+

1

2

∠ABC．

（2）

4

3

AE+CD=AC，
证明：∵∠AOC=90°+

1

2

∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中

AE=AM ∠EAO=∠MAO AO=AO

∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S_△AOM=

1

2

AO×MK，S_△MON=

1

2

ON×ML，
∴

AO

ON

=

S△AOM

S△MON

，
∵

S△AOM

S△MON

=

AM

MN

，
∴

AO

ON

=

AM

MN

，
∵AO=3OD，
∴

AO

OD

=

3

1

，
∴

AO

ON

=

AM

MN

=

3

1

，
∴AN=

4

3

AM=

4

3

AE，
∵AN+NC=AC，
∴

4

3

AE+CD=AC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，题目比较好，综合性比较强，难度偏大．