Question

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠A=∠B=30°．
（1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？
（2）连接CD，若CD=6，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，然后计算出∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，再计算出∠ODB的度数，可证明OD⊥BD，进而得到直线BD与⊙O相切；
（2）首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形证明△DOC是等边三角形，进而得到OA=OD=CD=6，然后再根据直角三角形的性质可得AB的长，进而得到AB长．

解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．
理由如下：
如图，连接OD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAB=30°，
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，
∴∠ODB=180°-∠DOB-∠B=180°-60°-30°=90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．

（2）由（1）知，∠DOB=60°，
又∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴OA=OD=CD=6，
又∵∠B=30°，∠ODB=90°，
∴OB=2OD=12．
∴AB=OA+OB=6+12=18．

点评：此题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，关键是证明OD⊥BD．