Question

15、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PS⊥AC于S，PR⊥AB于R，则以下结论中：（1）AS=AR；（2）△BRP∽△QSP；（3）PQ∥AB中，正确的有

①③

．（填序号）

Answer 1

分析：根据HL可以证明△APR≌△APS，得AS=AR；根据△APR≌△APS，得∠PAQ=∠PAR，根据AQ=PA，得∠PAQ=∠APQ，则∠PAQ=∠PAR，则PQ∥AB；根据已知条件，不能得到△BRP和△QSP中，除直角外的角对应相等，故不能证明它们相似．

解答：解：∵PS⊥AC于S，PR⊥AB于R，
∴∠PRA=∠PSA=90°．
又PS=PR，AP=AP，
∴△APR≌△APS．
∴AS=AR．故①正确；
∵△APR≌△APS，
∴∠PAQ=∠PAR．
∵AQ=PA，
∴∠PAQ=∠APQ，
∴∠PAQ=∠PAR，
∴PQ∥AB．故③正确；
∵PQ∥AB，
∴∠PQS=∠BAC，而∠BAC和∠B不一定相等，故②错误．
所以正确的结论是：①③．

点评：此题运用了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定．