Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，，我们规定：如果存在点P，使是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N的“和谐点”.

（1）已知点A的坐标为，

①若点B的坐标为，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标；

②点C在直线x＝5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.

（2）⊙O的半径为r，点为点、的“和谐点”，且DE＝2，若使得与⊙O有交点，画出示意图直接写出半径r的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①点C坐标为或；②y＝x＋2或y＝－x＋4；（2）或

【解析】

（1）①根据“和谐点”的定义即可解决问题；

②首先求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（2）分两种情形画出图形即可解决问题．

（1）①如图1．

观察图象可知满足条件的点C坐标为C（1，5）或C'（3，5）；

②如图2．

由图可知，B（5，3）．

∵A（1，3），∴AB=4．

∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC=4，∴C1（5，7）或C2（5，﹣1）．

设直线AC的表达式为y=kx+b（k≠0），当C1（5，7）时，，∴，∴y=x+2，当C2（5，﹣1）时，，∴，∴y=﹣x+4．

综上所述：直线AC的表达式是y=x+2或y=﹣x+4．

（2）分两种情况讨论：

①当点F在点E左侧时：

连接OD．则OD=，∴．

②当点F在点E右侧时：

连接OE，OD．

∵E（1，2），D（1，4），∴OE=，OD=，∴．

综上所述：或．