Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON的外心为点A（

3

2

，-2），反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象过点A．
（1）求直线l的解析式；
（2）在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：代数几何综合题,待定系数法

分析：（1）由A为直角三角形外心，得到A为斜边MN中点，根据A坐标确定出M与N坐标，设直线l解析式为y=mx+n，将M与N坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线l解析式；
（2）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，利用反比例函数k的意义求出△OBC的面积，由△ONP的面积是△OBC面积的3倍求出△ONP的面积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标．

解答：解：（1）∵Rt△MON的外心为点A（

3

2

，-2），
∴A为MN中点，即M（3，0），N（0，-4），
设直线l解析式为y=mx+n（m≠0），
将M与N代入得：

3m+n=0 n=-4

，
解得：m=

4

3

，n=-4，
则直线l解析式为y=

4

3

x-4；

（2）将A（

3

2

，-2）代入反比例解析式y=

k

x

得：k=-3，
∴反比例解析式为y=-

3

x

，
∵B为反比例函数图象上的点，且BC⊥x轴，
∴S_△OBC=

3

2

，
∵S_△ONP=3S_△OBC，
∴S_△ONP=

9

2

，
设P横坐标为a（a＞0），
∴

1

2

ON•a=

9

2

，即a=

9

4

，
把x=a=

9

4

代入y=

4

3

x-4，得y=-1．
则P坐标为（

9

4

，-1）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，反比例函数k的几何意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．