Question

类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD=           。

⑴尝试探究：如图2，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，则CD=           （试写出解答过程）。

⑵类比延伸：利用图3，再探究，当A、C两点分别在直径MN两侧，且AB≠CD，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°时，则线段AB、CD、BD满足的数量关系为       。

⑶拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（m，6），B（n，1）两点（其中0＜m＜3），且以y轴为对称轴，且∠AOB=90°，①求mn的值；②当S_△AOB=10时，求抛物线的解析式。

Answer 1

解：⑴原题：∵AB⊥MN，CD⊥MN，

∴∠ABO=∠ODC=90° ∠BAO+∠AOB=90°

∵∠AOC=90°    ∴∠DOC+∠AOB=90°

∴∠BAO=∠DOC  又∵OA=OC ∴△AOB≌△ODC（AAS）

∴OD=AB=3，OB=CD=4，∴BD=OB+OD=7  

⑵尝试探究：∵AB⊥MN，CD⊥MN，∴∠ABE=∠CDE=90°

∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90°

∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE∽△EDC  

∴ ∵AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，

∴BE=2，DE=6 ∴ ∴CD=4  

 

⑶类比延伸：如图3（a）CD=AB+BD；    如图3（b）AB=CD+BD  

 

⑷拓展迁移：①作轴于C点，轴于D点，点坐标分别为，∴，又∵∠AOB=90°

∴∠BCO=∠ODA=90°，∠OBC=∠AOD ∴，

∴。

②由①得，，又，∴，

即，

又

∴坐标为（2，6），B坐标为（－3，1），代入得抛物线解析式为。