Question

【题目】如图，已知平行四边形ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，点E的对应点是点F，连接EF.

（1）当点E与点B重合时，在图1中将图补充完整，并求出∠CEF的度数；

（2）如图2，求证：点F在∠ABC的平分线上.

Answer 1

【答案】（1）图见解析；60；（2）见解析

【解析】

（1）当点E与点B重合时，F点在AD上，根据题意画出图形后可得△AEF是等边三角形，即可求解；

（2）过F点作FG⊥AB交BA的延长线于G点，作FH⊥BC于H点，证△AFG≌△EFH，可得FG=FH，根据角平分线的判定定理即可得证.

（1）如图所示：平行四边形ABCD，∠ABC＝120°，故∠A=60°，F点在AD上.

由旋转的性质可得：AE=AF，∠EAF=60°

∴△AEF为等边三角形

∴∠AEF=60°

∵∠ABC＝120°

∴∠CEF=∠ABC-∠ABF=60°

（2）如图，过F点作FG⊥AB交BA的延长线于G点，作FH⊥BC于H点

由（1）可得：△AEF是等边三角形

∴FA=FE，∠AFE=60°

∵FG⊥AB，FH⊥BC，∠ABC=120°

∴∠GFH=360°-90°-90°-120°=60°

∴∠GFH=∠AFE

∴∠GFH-∠AFH=∠AFE-∠AFH

即∠AFG=∠EFH

又∠FHE=∠FGA=90°，FA=FE

∴△AFG≌△EFH

∴FG=FH

又∵FG⊥AB，FH⊥BC

∴点F在∠ABC的平分线上.