Question

2．如图，在直角坐标系中，点C在直线AB上，点A、B的坐标分别是（-1，0），（1，2），点C的横坐标为2，过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，直线BE与y轴交于点F．
（1）若∠OFE=α，∠ACE=β，求∠ABE（用α，β表示）；
（2）已知直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x-y=-1的解（同学们可以用点A、B的坐标进行检验），直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y=4的解，求点C、F的坐标；
（3）解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x+y=4}\end{array}}\right.$，比较该方程组的解与两条直线的交点B的坐标，你得出什么结论？

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得∠DBE=∠OFE=α，∠ABD=∠ACE=β，所以∠ABE=α+β；
（2）利用C点的横坐标和直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x-y=-1的解和确定C点的纵坐标；利用点F的横坐标为0和直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y=4的解可确定F点的纵坐标；
（3）可得到结论：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

解答 解：（1）∵BD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BD∥CE，
∴∠DBE=∠OFE=α，∠ABD=∠ACE=β，
∴∠ABE=∠ABD+∠DBE=α+β；
（2）∵点C的横坐标为2，把x=2代入方程x-y=-1，
解得y=3，
∴点C的坐标为（2，3）；                                 
∵点F在y轴上，
∴点F的横坐标为0，
把x=0代入2x+y=4，解得y=4，
∴点F的坐标是（0，4）；         
（3）方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x+y=4}\end{array}}\right.$的解是$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}}\right.$，
∵点B的坐标是（1，2），
∴直线AB与直线BE的交点坐标就是方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x+y=4}\end{array}}\right.$的解．

点评 本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．