Question

18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若cosB=$\frac{3}{5}$，AP=1，求QC的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{AP+BP}$=$\frac{3}{5}$，可计算出BC=$\frac{21}{5}$，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB=$\frac{PB}{BQ}$=$\frac{3}{5}$，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ-BC进行计算即可．

解答 解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{AP+BP}$=$\frac{3}{5}$，
而BP=6，AP=1，
∴BC=$\frac{21}{5}$，
在Rt△BPQ中，cosB=$\frac{PB}{BQ}$=$\frac{3}{5}$，
∴BQ=$\frac{6}{\frac{3}{5}}$=10，
∴QC=BQ-BC=10-$\frac{21}{5}$=$\frac{29}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．