Question

14．如图，在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连结QP．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．
（1）用含x的代数式表示y，即 y=$\frac{25+{x}^{2}}{2x}$；
（2）求当x取何值时，以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABP∽△MQB，得出对应边成比例$\frac{AP}{MB}=\frac{BP}{QB}$，即可得出结果；
（2）根据题意得⊙P与⊙Q外切时，圆心距PQ=AP+CQ，得出y=x+（13-y），得出y═$\frac{x+13}{2}$，再与（1）中关系式结合，即可得出x的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠APB=∠QBM，BP=$\sqrt{{x}^{2}+25}$，
∵线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，
∴∠BMQ=90°，MB=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$，
∴△ABP∽△MQB，
∴$\frac{AP}{MB}=\frac{BP}{QB}$，即$\frac{x}{\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}}=\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{y}$，
∴$y=\frac{{25+{x^2}}}{2x}$；
（2）∵⊙P与⊙Q外切，圆心距PQ=AP+CQ=x+（13-y），
∵QM是BP的垂直平分线，
∴BQ=PQ=y，
∴y=x+（13-y），
∴y=$\frac{x+13}{2}$，
$\frac{25+{x}^{2}}{2x}$代入（1）得：$\frac{x+13}{2}=\frac{{x}^{2}+25}{2x}$，
解得：x=$\frac{25}{13}$，
经检验，$\frac{25}{13}$是分式方程的解且符合题意．
∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，x的值是$\frac{25}{13}$．

点评 本题考查了相切两圆的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及分式方程的解法；证明三角形相似和由相切两圆的性质得出关系式是解决问题的关键．