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14.如图,在矩形ABCD中,点P是边AD上的动点,连结BP,线段BP的垂直平分线交边BC于点Q,垂足为点M,连结QP.已知AD=13,AB=5,设AP=x,BQ=y.
(1)用含x的代数式表示y,即 y=$\frac{25+{x}^{2}}{2x}$;
(2)求当x取何值时,以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切.

分析 (1)先证明△ABP∽△MQB,得出对应边成比例$\frac{AP}{MB}=\frac{BP}{QB}$,即可得出结果;
(2)根据题意得⊙P与⊙Q外切时,圆心距PQ=AP+CQ,得出y=x+(13-y),得出y═$\frac{x+13}{2}$,再与(1)中关系式结合,即可得出x的值.

解答 解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90°,
∴∠APB=∠QBM,BP=$\sqrt{{x}^{2}+25}$,
∵线段BP的垂直平分线交边BC于点Q,
∴∠BMQ=90°,MB=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$,
∴△ABP∽△MQB,
∴$\frac{AP}{MB}=\frac{BP}{QB}$,即$\frac{x}{\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}}=\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{y}$,
∴$y=\frac{{25+{x^2}}}{2x}$;
(2)∵⊙P与⊙Q外切,圆心距PQ=AP+CQ=x+(13-y),
∵QM是BP的垂直平分线,
∴BQ=PQ=y,
∴y=x+(13-y),
∴y=$\frac{x+13}{2}$,
$\frac{25+{x}^{2}}{2x}$代入(1)得:$\frac{x+13}{2}=\frac{{x}^{2}+25}{2x}$,
解得:x=$\frac{25}{13}$,
经检验,$\frac{25}{13}$是分式方程的解且符合题意.
∴当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时,x的值是$\frac{25}{13}$.

点评 本题考查了相切两圆的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及分式方程的解法;证明三角形相似和由相切两圆的性质得出关系式是解决问题的关键.

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