Question

20．如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求弧AQ的长（图1）；
（2）若∠AOB=120°，求AB的长（图2）；
（3）如果线段AB与圆O有两个公共点A、M，当AO⊥PM于点N时，求tan∠MPQ的值（图3）．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠AOB的度数，再根据弧长的计算公式进行求解即可；
（2）连接AP，过点A作AM⊥BP于M，根据特殊角的三角函数值和已知条件求出AM，再根据BM=OM+OB，求出BM，最后根据勾股定理求出AB；
（3）连接MQ，根据PQ是圆O的直径和AO⊥PM，得出ON∥MQ，求出ON=$\frac{1}{4}$AO，设ON=x，则AO=4x，根据OA的值求出x的值，再根据PN=$\sqrt{P{O}^{2}-O{N}^{2}}$，求出PN，最后根据特殊角的三角函数值即可得出答案．

解答 解：（1）∵直线AB与圆O相切，
∴∠OAB=90°，
∵OQ=QB=1，
∴OA=1，OB=2，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠B=30°，
∴∠AOB=60°，
∴AQ=$\frac{60π×1}{180}$=$\frac{π}{3}$；

（2）如图1，
连接AP，过点A作AM⊥BP于M，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=60°，
∵sin∠AOP=$\frac{AM}{AO}$，
∴AM=sin∠AOP•AO=sin60°×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OM=$\frac{1}{2}$，
∴BM=OM+OB=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$；

（3）如图2，连接MQ，
∵PQ为圆O的直径，
∴∠PMQ=90°，
∵ON⊥PM，
∴AO∥MQ，
∵PO=OQ，
∴ON=$\frac{1}{2}$MQ，
∵OQ=BQ，
∴MQ=$\frac{1}{2}$AO，
∴ON=$\frac{1}{4}$AO，
设ON=x，则AO=4x，
∵OA=1，
∴4x=1，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴ON=$\frac{1}{4}$，
∴PN=$\sqrt{P{O}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-（{\frac{1}{4}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴tan∠MPQ=$\frac{ON}{PN}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．

点评 本题考查了圆的综合题，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、弧长公式、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．