Question

2．如图，直线y=2x与双曲线y=$\frac{2}{x}$在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．求
（1）点A′的坐标；
（2）∠OAB′的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先确定A点坐标为（1，2），再根据旋转的定义画出几何图形，然后根据旋转的性质得∠A′B′O=∠ABO=90°，∠B′OB=90°，OB′=OB=1，A′B′=AB=2，再写出点A′的坐标；
（2）根据勾股定理求得OA、AB′，根据S_△AOB′=$\frac{1}{2}$OB′•|x_A|=$\frac{1}{2}$OA•B′D，求得B′D，进而即可求得∠OAB′的正弦值．

解答 解：（1）如图，∵直线y=2x与双曲线y=$\frac{2}{x}$在第一象限的交点为A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$解得1$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（1，2），
∵△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，
∴∠A′B′O=∠ABO=90°，∠B′OB=90°，OB′=OB=1，A′B′=AB=2，
∴A′点坐标为（-2，1）；
（2）作B′D⊥OA于D，
∵A点坐标为（1，2），
∴AB=2，OB=1，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OB′=1
∴S_△AOB′=$\frac{1}{2}$OB′•|x_A|=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∵S_△AOB′=$\frac{1}{2}$OA•B′D，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×B′D=$\frac{1}{2}$，
∴B′D=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵AB′=$\sqrt{{1}^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴sin∠OAB′=$\frac{B′D}{AB′}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，旋转的性质，也考查了三角形的面积公式和解直角三角形等．