【题目】将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中,点,点,点E,F分别在边,上.沿着折叠该纸片,使得点A落在边上,对应点为,如图①.再沿折叠,这时点E恰好与点C重合,如图②.
(Ⅰ)求点C的坐标;
(Ⅱ)将该矩形纸片展开,再折叠该矩形纸片,使点O与点F重合,折痕与相交于点P,展开矩形纸片,如图③.
①求的大小;
②点M,N分别为,上的动点,当取得最小值时,求点N的坐标(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)①,②
【解析】
(Ⅰ)由翻折的性质可知,,,再由正方形的性质和勾股定理可得OE,继而即可求解;
(Ⅱ)①连接,由题意和(Ⅰ)可知,而,,由等角对等边可知,,设,则,然后根据翻折的性质可知即,把x代入列出方程,解方程求出,根据相似三角形的判定可证, ,再根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和即可求解;
②利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质可判断M、N的位置,进而根据题意即可求解.
解:(Ⅰ)∵点,∴.
由两次折叠可知,,.
∴是正方形.∴.
在中,.
∴点C的坐标为.
(Ⅱ)①如图③,连接,由和(Ⅰ)可知,
,而,
,
故,.
设,则,
由即,
得,解得.
所以.则有.
得.又,则,
即.
②如图④所示,过点P作⊥OC于点,交OF于点M,作关于OF的对称点N,连接MN,此时取得最小值时,且,
过点N作NG⊥x轴于点G,
∵由(Ⅱ)知,∠AOE=45°,
∴∠NOG=90°-45°=45°
∴OG=NG=.
∴.
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【题目】平面直角坐标系中,直线交坐标轴于点、点且面积为
如图1,求的值;
如图2,点在轴的负半轴上,在线段上,连,作交线段于, 若点纵坐标为长度为,求与的函数关系式(不写自变量取值范围);
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【题目】在平面直角坐标系内,抛物线与线段有两个不同的交点,其中点,点.有下列结论:
①直线的解析式为;②方程有两个不相等的实数根;③a的取值范围是或.
其中,正确结论的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】二次函数(,,是常数,)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
… | -1 | 0 | 1 | 3 | … | |
… | 3 | 3 | … |
且当时,与其对应的函数值.有下列结论:①;②3是关于的方程的一个根;③.其中,正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】如图, 在中,,, 点为中点, 点在边上, 连接,过点作
上交于点,连接。下列结论:
(1)(2)(3)(4)
其中正确的是__________(填写所有正确结论的序号)
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【题目】已知:二次函数y = ax2+ bx + c (a≠0)的图象如图所示,下列结论中:
①abc>0;②2a + b>0;③a +b<m(am +b)(m≠1);④(a+c)2< b2;⑤a >1.其中正确的项是( )
A.①②⑤B.①③④C.①②④D.②④⑤
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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,点G在边BC的延长线上,CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,EF∥BC交CD于点O.
(1)求证:OE=OF;
(2)若点O为CD的中点,求证:四边形DECF是矩形.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB、FC.
(1)求证:四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=,BE=1,求半圆的面积.
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