Question

18．如图1，在平面直角坐标xOy中，直线l₁经过点（1，2）和（-2，-1），点P是直线l₁上一动点，以点P为圆心、5为半径的圆在直线l₁上运动．
（1）请直接写出直线l₁的解析式．
（2）当⊙P与坐标轴只有3个不同的公共点时，直接写出点P的坐标．
（3）如图2，若直线l₂的解析式是y=2x-1，点Q是直线l₂上一点，PQ=$\sqrt{2}$，当以点Q为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线l₁相切时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得直线l₁的解析式为y=x+1；
（2）设直线y=x+1上的点P坐标为（b，b+1），根据半径为5的⊙P与坐标轴只有3个不同的公共点，分以下三种情况：①⊙P与x轴相切；②⊙P与y轴相切；③⊙P过原点；分别根据圆心到直线的距离等于半径求解，然后验证可得答案；
（3）设点Q的坐标为（a，2a-1），点P的坐标为（b，b+1），根据PQ=$\sqrt{2}$可得（a-b）²+（2a-b-2）²=2 ①，由以点Q为圆心、$\sqrt{2}$为半径的圆与直线l₁相切知点Q到直线l₁的距离为$\sqrt{2}$，根据点到直线的距离公式得$\frac{|a-（2a-1）+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，解之可得a的值，再将a的值代入①求出b，从而得知点P的坐标．

解答 解：（1）设直线l₁的解析式为y=kx+b，
将（1，2）和（-2，-1）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线l₁的解析式为y=x+1；

（2）设点P的坐标为（b，b+1），
①当⊙P与x轴相切时，|b+1|=5，即b+1=±5，
解得：b=4或b=-6，
∴点P的坐标为（4，5）或（-6，-5），
若点P为（4，5），点P到x轴距离为5，到y轴距离为4，此时⊙P与坐标轴有3个交点；
若点P为（-6，-5），点P到x轴距离为5，到y轴距离为6，此时⊙P与坐标轴没有交点，舍去；
②当⊙P与y轴相切时，|b|=5，即b=5或-5，
∴点P的坐标为（5，6）或（-5，-4），
若点P为（5，6），点P到x轴距离为6，到y轴距离为5，此时⊙P与坐标轴没有交点，舍去；
若点P为（-5，-4），点P到x轴距离为4，到y轴距离为5，此时⊙P与坐标轴有3个交点；
③当⊙P过原点时，则OP=5，即OP²=25，
∴b²+（b+1）²=25，整理得：b²+b-12=0，
解得：b=3或-4，
∴此时点P的坐标为（3，4）或（-4，-3），
综上，当⊙P与坐标轴只有3个不同的公共点时，点P的坐标为（4，5）或（-5，-4）或（3，4）或（-4，-3）；

（3）设点Q的坐标为（a，2a-1），点P的坐标为（b，b+1），
∵PQ=$\sqrt{2}$，
∴PQ²=2，即（a-b）²+（2a-b-2）²=2 ①，
又∵以点Q为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线l₁相切，
∴点Q到直线l₁：y=x+1的距离为$\sqrt{2}$，即$\frac{|a-（2a-1）+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
整理得：|2-a|=2，
解得：a=0或a=4，
将a=0代入①，得：b²+2b+1=0，
解得：b=-1，
∴点P的坐标为（-1，0）；
将a=4代入①，得：b²-10b+25=0，
解得：b=5，
∴点P的坐标为（5，6），
综上，点P的坐标为（-1，0）或（5，6）．

点评 本题主要考查待定系数求函数解析式、圆的切线、点到点的距离公式、点到直线的距离公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及性质和有关公式是解题的关键．