Question

如图所示，长方形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF=EC，且EF⊥EC，DE=2cm，长方形ABCD的周长为16cm，
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）求AE及CF的长．

Answer 1

分析：（1）求出∠A=∠B=90°，∠AFE=∠DEC，根据AAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AF=DE=2cm，AE=CD=AB，根据矩形性质得出AD=BC，AB=CD，推出2AB+2=8，求出AB，根据勾股定理求出CE、EF，根据勾股定理求出CF即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中

∠A=∠D ∠AFE=∠DEC EF=EC

，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．

（2）解：∵长方形ABCD的周长为16cm，
∴AD=BC，AB=CD，
∴2AD+2AB=16cm，
AD+AB=AD+CD=8cm，
∵DE=2cm，△AEF≌△DCE，
∴AF=DE=2cm，AE=CD=AB，
∴AD+AB=AE+DE+AB=AB+2cm+AB=8cm，
∴AB=3cm=CD=AE，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：CE=

22+32

=

13

=EF，
在Rt△FEC中，由勾股定理得：CF=

( 13 )2+( 13 )2

=

26

（cm），
即AE=3cm，CF=

26

cm．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和计算能力．