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精英家教网如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,已知∠D=30°.
(1)求∠A的度数;
(2)若点F在⊙O上,CF⊥AB,垂足为E,CF=4
3
,求图中阴影部分的面积.
分析:(1)连接OC,则△OCD是直角三角形,可求出∠COD的度数;由于∠A与∠COD是同弧所对的圆周角与圆心角.根据圆周角定理即可求得∠A的度数;
(2)由图可知:阴影部分的面积是扇形OCB和Rt△OEC的面积差;那么解决问题的关键是求出半径和OE的长;在Rt△OCE中,∠OCE=∠D=30°,已知了CE的长,通过解直角三角形,即可求出OC、OE的长,由此得解.
解答:精英家教网解:(1)连接OC,
∵CD切⊙O于点C
∴∠OCD=90°(1分)
∵∠D=30°
∴∠COD=60°(2分)
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO=30°;(4分)

(2)∵CF⊥直径AB,CF=4
3

∴CE=2
3
(5分)
∴在Rt△OCE中,tan∠COE=
CE
OE

OE=
CE
tan60°
=
2
3
3
=2,
∴OC=2OE=4(6分)
∴S扇形BOC=
60π×42
360
=
8
3
π
S△EOC=
1
2
×2×2
3
=2
3
(8分)
∴S阴影=S扇形BOC-S△EOC=
8
3
π-2
3
.(10分)
点评:本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及扇形面积的计算方法.不规则图形的面积,可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求.
练习册系列答案
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精英家教网如图,已知⊙O的直AB=20cm,CD垂AB于E,CD=12cm,AE的长为(  )
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40m
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[  ]

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B.65°

C.67.

D.75°

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如图,已知⊙O的直AB=20cm,CD垂AB于E,CD=12cm,AE的长为


  1. A.
    1cm
  2. B.
    2cm
  3. C.
    3cm
  4. D.
    4cm

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如图,已知⊙O的直AB=20cm,CD垂AB于E,CD=12cm,AE的长为( )

A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm

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