Question

我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．
这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：
（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是______；
（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线l）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：
①作图确定水塔的位置；
②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）
（3）已知x+y=6，求+的最小值；
此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：
①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=______，DB=______；
②在AB上取一点P，可设AP=______，BP=______；
③+的最小值即为线段______和线段______长度之和的最小值，最小值为______．

Answer 1

解：（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是4；

（2）①如图，点P即为所求．
（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线l于点P，则点P即为所求）
说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；
如延长BD到点M，使DM=BD，连接AM，同样可得到P点．
②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形．
∴FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AF．
∵AB=3，BD=2，
∴BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，
∴在Rt△ABF中，AF²=AB²-BF²=8，
∴AF=2，EG=2．
∴在Rt△BEG中，BE²=EG²+BG²=17，BE=．
∴PA+PB的最小值为．
即所用水管的最短长度为．

（3））①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，
②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，
③+的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，
∴作C点对称点C′，连接C′D，过C′点作C′E⊥DB，交于点E，
∵AC=BE=3，DB=5，AB=C′E=6，
∴DE=8，
C′D==10，
∴最小值为10．
故答案为：①3，5；②x，y；③PC，PD，10．
分析：（1）利用二次函数的顶点坐标即可得出函数的最值；
（2）①延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线l于点P，则点P即为所求，
②过点A作AF⊥BD，垂足为F，过点E作EG⊥BD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形，进而利用勾股定理求出即可；
（3）①作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA=3，BD=5，
②在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，
③+的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即可．
点评：此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题，结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理得出是解题关键．