Question

7．在一个三角形中，两角的角平分线长度相等，求证：它是等腰三角形．

Answer 1

分析 作∠BEF=∠BCD，并使EF=BC 通过△BEF≌△DCB，得到BF=BD，∠BDC=∠EBF，设∠ABE=∠EBC=α，∠ACD=∠DCB=β，根据三角形的内角和得到∠FBC=∠CEF，过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上，由△CGB≌△FHE，于是得到CG=FH，BC=HE 连接CF，证得R_t△CGF≌R_t△FHC，得到FG=CH，推出△BDC≌△CEB，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 已知：BE、CD分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，（如图），BE=CD，
求证：AB=AC，
证明：作∠BEF=∠BCD，并使EF=BC 
在△BEF与△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=EF}\\{∠BCD=∠BEF}\\{CD=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DCB，
∴BF=BD，∠BDC=∠EBF，
设∠ABE=∠EBC=α，∠ACD=∠DCB=β，
∵∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-（α+β），
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-（α+β），
∴∠FBC=∠CEF，
∵2α+2β＜180°，
∴α+β＜90°，
∴∠FBC=∠CEF＞90°，
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上，
设垂足分别为G、H，
∠HEF=∠CBG，
∵BC=EF，
在△CGB与△FHE 中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠FHE}\\{∠CBG=∠FEH}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CGB≌△FHE，
∴CG=FH，BC=HE 
连接CF，
∵CF=FC，FH=CG，
在R_t△CGF与R_t△FHC 中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{FH=CG}\end{array}\right.$，
∴R_t△CGF≌R_t△FHC，
∴FG=CH，
∴BF=CE，
∴CE=BD，
∵BD=CE，BC=CB，
在△BDC与△CEB 中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BD}\\{BE=CD}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEB，
∴∠ABC=∠ACB 
∴AB=AC．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．