Question

6．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2$\sqrt{2}$．动点P从点C出发，沿折线CBA方向向终点A匀速运动，另一动点Q从点A出发，沿AC方向向终点C匀速运动．已知点P的运动速度是$\sqrt{2}$个单位/秒，点Q的运动速度是1个单位/秒，P、Q两点同时出发，当P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=$\frac{1}{2}$时，△CPQ的面积是$\frac{7}{8}$；
（2）在整个运动过程中，求△CPQ面积是$\frac{3}{2}$时t的值； 
（3）在整个运动过程中，点C关于直线PQ的对称点为C′，若点C′恰好落在CB或CA边所在直线上，请直接写出满足条件所有t的值$\frac{4}{3}$，2．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点P作PE⊥AC于点E，结合等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式进行解答即可；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：当点P位于边BC上和点P位于AB边上两种情况，结合三角形的面积公式进行解答即可；
（3）分两种情况，PQ⊥BC和PQ⊥AC，根据等腰直角三角形的性质进行解答．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=BC=2$\sqrt{2}$
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4；
（1）如图1，过点P作PE⊥AC于点E，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴∠C=45°，
∴在等腰直角△ECP中，CP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EC=EP=$\frac{1}{2}$，
∴△CPQ的面积是：$\frac{1}{2}$CQ•EP=$\frac{1}{2}$（4-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{8}$．
故答案是：$\frac{7}{8}$；

（2）①当 0＜t≤2时，如图1，由题意得
PC=$\sqrt{2}$，PH=t
$\frac{1}{2}$（4-t）t=$\frac{3}{2}$   $\frac{1}{2}$QC•PH=$\frac{3}{2}$
t₁=1，t₂=3
经检验可知t₂=3 不符合题意，舍去；
②当2≤t＜4时，过点P作PH⊥AC交于点H，由题意得
AP=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，PH=4-t，
则$\frac{1}{2}$QC•PH=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}$（4-t）•（4-t）=$\frac{3}{2}$  
解得t₃=4-$\sqrt{3}$，t₄=4+$\sqrt{3}$．
经检验可知 t₄=4+$\sqrt{3}$ 不符合题意，舍去．
综上所述，在整个运动过程中，求△CPQ面积是$\frac{3}{2}$时t的值是1或4-$\sqrt{3}$；

（3）①如图3，当点C′位于BC边上时，PQ⊥BC，此时CQ=$\sqrt{2}$CP，即4-t=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$t，
解得t=$\frac{4}{3}$；
②如图4，当点C′位于CA边所在直线上时，PQ⊥AC，且点P与点B重合，此时t=2．
综上所述，满足条件的有两个值：$\frac{4}{3}$，2．
故答案是：$\frac{4}{3}$，2．

点评 本题考查了几何变换综合题．其中涉及到了轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式，利用分类讨论、数形结合求解是解题关键．