Question

2．已知抛物线C：y=x²+（2m-1）x-2m．
（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；
（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；
（3）若m=2，M，N是抛物线C上两动点（点M在左，点N在右），分别过点M，N作PM∥x轴，PN∥y轴，PM，PN交于点P，点M，N运动时，且始终保持MN=$\sqrt{2}$不变，当△MNP得面积最大时，求直线MN的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线解析式令y=0，求出抛物线与x轴的交点，即可求出线段AB的长．
（2）列方程组根据△=0，得：-4m²-4m=（k+1）²，设y=-4m²-4m由y≥O确定m的取值范围．
（3）由题意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，设M（a，a²+3a-4）则N（a+1，a²+3a+1）或（a+1，a²+3a-5），代入抛物线的解析式即可求解．

解答 解：（1）m=1时，抛物线为：y=x²+x-2，
令y=0得到：x²+x-2=0，解得x=-2或1，
所以点A（-2，0），点B（1，0），
所以AB=3．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+mk}\\{y={x}^{2}+（2m-1）x-2m}\end{array}\right.$消去y得到：x²+（2m-1-k）x-2m-mk=0，
∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点，
∴△=0，
∴（2m-1-k）²+8m+4mk=0，
整理得：-4m²-4m=（k+1）²，
∵（k+1）²≥0，
设y=-4m²-4m，当y≥0时，-1≤m≤0，
∴-1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．
（3）∵△PMN是直角三角形，斜边MN=$\sqrt{2}$，
∴当△PMN面积最大时，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1，
由题意设M（a，a²+3a-4）则N（a+1，a²+3a-3）或（a+1，a²+3a-5），
∴a²+3a-3=（a+1）²+3（a+1）-4或a²+3a-5=（a+1）²+3（a+1）-4，
∴a=0或-$\frac{5}{2}$．
①当a=0时，M（0，-4），N（1，-3），设直线MN为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，所以直线MN为y=x-4．
②当a=-$\frac{5}{2}$时，M（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{21}{4}$），N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），设直线MN为y=k′x+b′，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{2}k′+b′=-\frac{21}{4}}\\{-\frac{3}{2}k′+b′=-\frac{25}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-1}\\{b′=-\frac{31}{4}}\end{array}\right.$，所以直线MN为y=-x-$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查二次函数的有关知识、一次函数、直角三角形等知识，掌握两个函数的交点问题转化为方程组的解的问题是解题的关键，还要记住一个结论斜边为定值时直角边相等时面积最大．