Question

14．如图，矩形ABCD的顶点A（-1，0），B（3，0），D（-1，2），CD交y轴于E；抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B，且该抛物线的顶点为M．
（1）若点M在矩形ABCD内部，求a的取值范围；
（2）若⊙M与x轴以及直线AE都相切，求抛物线的解析式；
（3）若点M（1，4），N是抛物线上的动点，求N到直线y=x+4的最短距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可知抛物线的对称轴为x=1．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．可得到M（1，-4a），然后依据点M在矩形ABCD的内部，可得到0＜-4a＜2；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），点则点M的坐标M（1，-4a），则抛物线的对称轴为x=1，即HM的直线方程为x=1．先求得点H的坐标，从而可得到HM=4+4a．由tan∠FHM=tan∠AEO=$\frac{1}{2}$可得到sin∠FHM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，然后可求得FM的长，最后依据FM=GM列方程求解即可；
（3）先求得抛物线的解析式，过点N作NC平行与直线y=x+4，交y轴与点C，故点C作CD垂直于直线AB，垂足为D．先证明△AOB为等腰直角三角形，则∠DAC=45°，设直线CN的解析式为y=x+b，当抛物线与直线y=x+b有且只有一个交点时，点N到直线y=x+4的距离最短，故此可求得点C的坐标为（0，$\frac{13}{4}$），则AC=$\frac{3}{4}$，接下来可求得DC的长，且CD的长即为点N到y=x+4的最短距离．

解答 解：（1）∵抛物线经过点A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
将x=1代入得：y=-4a．
∴M（1，-4a）．
∵点M在矩形ABCD的内部，
∴0＜-4a＜2，
∴-$\frac{1}{2}$＜a＜0．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），点则点M的坐标M（1，-4a），则抛物线的对称轴为x=1，即HM的直线方程为x=1．
当a＞0时，如图1所示：

∵M（1，-4a），
∴GM=4a．
设直线AE的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：-k+2=0，解得k=2，
∴直线AE的解析式为y=2x+2．
将x=1代入得：y=4，
∴点H的坐标为（1，4）．
∴HM=4+4a．
∵MH∥y轴，
∴∠FHM=∠AEO．
∴tan∠FHM=tan∠AEO=$\frac{AO}{OE}$=$\frac{1}{2}$．
∴sin∠FHM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴FM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$HM．
∵FM=GM，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4+4a）=4a，解得a=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$（x+1）（x-3）．
当a＜0时，GM=-4a．
∵FM=GM，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$（4+4a）=-4a，解得a=-$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$（x+1）（x-3）．
综上所述，抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$（x+1）（x-3）或y=-$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$（x+1）（x-3）．

（3）∵M的坐标为（1，-4a），
∴-4a=4，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
如图2所示：过点N作NC平行与直线y=x+4，交y轴与点C，故点C作CD垂直于直线AB，垂足为D．

把x=0代入y=x+4，则y=4，
∴A（0，4）．
把y=0代入得：x+4=0，
解得：x=-4．
∴B（-4，0）．
∴OB=OA．
∴∠BAO=45°．
设直线CN的解析式为y=x+b，将y=x+b代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=x+b．
当抛物线与直线有且只有一个交点时，点N到直线y=x+4的距离最短．
∴△=0，即（-1）²-4（b-3）=0，解得：b=$\frac{13}{4}$．
∴点C的坐标为（0，$\frac{13}{4}$）．
∴AC=$\frac{3}{4}$．
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
∴点N到直线y=x+4的最短距离为$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定，一元二次方程根的判别式、锐角三角函数的定义，分类讨论是解答问题（2）的关键；找出点N到直线y=x+4的距离最短的条件是解题的关键．