Question

14．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，⊙O的半径为3，$\widehat{BC}$的长为π．
（1）直线CD与⊙O相切吗？说明理由．
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，设∠BOC的度数为n°，利用弧长公式可计算出n=60°，则利用圆周角得到∠A=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到∠OCD=90°，于是根据切线的判定定理可判断CD是⊙O的切线；
（2）作CH⊥OB于H，如图，先在Rt△OCH中利用正弦的定义计算出CH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，再根据扇形的面积公式，利用S_阴影=S_扇形OAC-S_△OAC进行计算即可．

解答 解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，设∠BOC的度数为n°，则$\frac{n•π•3}{180}$=π，解得n=60°，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∵AC=CD，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCD=180°-∠BOC-∠D=180°-30°-60°=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）作CH⊥OB于H，如图，
在Rt△OCH中，CH=OC•sin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴S_阴影=S_扇形OAC-S_△OAC=$\frac{120•π•{3}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{12π-9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定：切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．