Question

如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE是⊙O的切线且DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若⊙O的半径为3，BE=1，求tanF的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得OD⊥DE，再根据DE⊥AB，得OD∥AB，从而得出∠ODC=∠B，即可得出∠B=∠ODC，则AB=AC；
（2）由（1）可知，OD∥AE，则

FO

FA

=

OD

AE

，代入数据求出FC=

3

2

，OF=

9

2

，再由勾股定理，得OD=

3

2

5

，从而得出tanF的值．

解答：（1）证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∵DE⊥AB，∴OD∥AB，
∴∠ODC=∠B．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠B=∠OCD，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）可知，OD∥AE，
∴

FO

FA

=

OD

AE

，
∴

FC+OC

FC+AC

=

OD

AB-BE

∴

FC+3

FC+6

=

3

6-1

∴FC=

3

2

，OF=

9

2

．
在△OFD中，∵OF²=OD²+FD²，
∴OD=

3

2

5

，
∴tanF=

OD

DF

=

3

3 2 5

=

2

5

5

．

点评：本题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及锐角三角函数的定义，是基础知识要熟练掌握．