Question

如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，
求证：（1）△ACF∽△ABE；
（2）AC•AE=AF•AB．

Answer 1

证明：（1）∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，
∴∠ACF=90°-∠BAC=∠B；
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE．

（2）∵△ACF∽△ABE，
∴，
∴AC•AE=AF•AB．
分析：（1）由于EA平分∠CAB，则∠CAE=∠BAE，在Rt△ABC中，CD⊥AB，根据同角的余角相等可证得∠ACF=∠B，由此可判定所求的两个三角形相似．
（2）根据（1）的相似三角形所得比例线段即可得证．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，属于基础知识，难度不大．