Question

如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BG⊥AE于点G，连接FD并延长，交BG于点H
（1）求证：DF=DH；
（2）若∠CFD=120°，求证：△DHG为等边三角形．

Answer 1

分析：（1）首先证明∠1=∠2，再证明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；
（2）首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根据直角三角形的性质可得，HG=

1

2

HF，进而得到结论．

解答：证明：（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，
∴∠BGF=∠CFG=90°，
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，
∵∠GMB=∠CME，
∴∠1=∠2，
∵点D为边BC的中点，
∴DB=CD，
在△BHD和△CED中，

∠1=∠2 DB=CD ∠3=∠4

，
∴△BHD≌△CED（ASA），
∴DF=DH；

（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，
∴∠GFH=30°，
∵∠BGM=90°，
∴∠GHD=60°，
∵△HGF是直角三角形，HD=DF，
∴DG=

1

2

HF=DH，
∴△DHG为等边三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是掌握全等三角形的判定定理．