Question

5．抛物线l：y=-x²+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（a+3，2）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，如图所示，直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线交于点C，D
（1）当抛物线l过点P时，求抛物线l的解析式；
（2）当a=3时，求OA的长，并证明抛物线l的对称轴过点P；
（3）把l在直线BM右侧的部分（含点B）记为G，用a表示图象G最高点N的坐标；
（4）当抛物线l与直线y=$\frac{1}{2}$x+1的一个交点的横坐标为x₀，且满足6≤x₀≤10时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意b=0，把P（a+3，2）的坐标代入y=-x²+4ax得到2=-（a+3）²+4a（a+3），解方程即可解决问题．
（2）求出点P的坐标以及抛物线的对称轴即可判断．
（3）分三种情形讨论即可①当a+3＜2a，即a＞3时，N（a+3，3a²+6a-9）．②当a+3=2a，即a=3时，N（6，36）．③当a+3＞2a时，即0＜a＜3时，N（2a，4a²）．
（4）在直线y=$\frac{1}{2}$x找到两个特殊点（6，4）和（10，6）代入抛物线的解析式求出a的值，即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=-x²+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），
∴b=0，
把P（a+3，2）的坐标代入y=-x²+4ax得到，2=-（a+3）²+4a（a+3），解得a=$\frac{-3+\sqrt{42}}{3}$或$\frac{-3-\sqrt{42}}{3}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{-3+\sqrt{42}}{3}$，
∴抛物线l的解析式为y=-x²+$\frac{4\sqrt{42}-12}{3}$x．

（2）当a=3时，抛物线为y=-x²+12x，
令y=0，-x²+12x=0，解得x=0或12，
∴A（12，0），
∴OA=12，
∵P（6，2），抛物线y=-x²+12x的对称轴x=-$\frac{12}{-2}$=6，
∴点P在抛物线的对称轴上．

（3）∵y=-x²+4ax=-（x-2a）²+4a²，
∴抛物线的对称轴x=2a，
①当a+3＜2a，即a＞3时，N（a+3，3a²+6a-9）．
②当a+3=2a，即a=3时，N（6，36）．
③当a+3＞2a时，即0＜a＜3时，N（2a，4a²）．

（4）对于直线y=$\frac{1}{2}$x+1，x=6时，y=4，x=10时，y=6，
把（6，4）的坐标代入y=-x²+4ax得a=$\frac{5}{3}$，
把（10，6）的坐标代入y=-x²+4ax得a=$\frac{53}{20}$，
∴a的范围$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{53}{20}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用 待定系数法确定函数解析式，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．