Question

16．二次函数y=x²+bx+c（b＞0）的图象C与x轴有且仅有一个公共点M，C与y轴相交于点N，过点N的直线l：y=-x+m与C交与另一点A，l与x轴交于点B，若9S_△AMN=7S_△BMN，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 根据二次函数解析式求得点N坐标（0，c），代入直线l的解析式可得y=-x+c，联立直线和抛物线解析式求得交点A的坐标（-b-1，b+1+c），利用勾股定理得到AN=$\sqrt{2}$（b+1）、BN=$\sqrt{2}$c，由9S_△AMN=7S_△BMN得9AN=7BN即9×$\sqrt{2}$（b+1）=7×$\sqrt{2}$c ①，结合b²-4c=0 ②，联立①②可得b、c的值可得答案．

解答 解：如图，

当x=0时，y=c，即点N（0，c），
将点N（0，c）代入y=-x+m，得：m=c，
∴直线l：y=-x+c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+bx+c}\\{y=-x+c}\end{array}\right.$得：x₁=0，x₂=-b-1，
∴当x=-b-1时，y=-x+c=b+1+c，
∴点A（-b-1，b+1+c），
过点A作AP⊥y轴于点Q，则PN=OP-ON=b+1，
∴AN=$\sqrt{A{P}^{2}+P{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$（b+1），BN=$\sqrt{O{B}^{2}+O{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
过点M作MQ⊥AB于点Q，
∵9S_△AMN=7S_△BMN，
∴9×$\frac{1}{2}$AN×MQ=7×$\frac{1}{2}$×BN×MQ，即9AN=7BN，
∴9×$\sqrt{2}$（b+1）=7×$\sqrt{2}$c，即9（b+1）=7c ①，
∵抛物线C与x轴有且仅有一个公共点M，
∴△=b²-4c=0 ②，
联立①②得：b²-4×$\frac{9（b+1）}{7}$=0，整理得7b²-36b-36=0，
解得：b₁=6，b₂=-$\frac{6}{7}$，
∵b＞0，
∴b=6，
∴c=9，
∴二次函数的解析式为y=x²+6x+9．

点评 本题主要考查待定系数求函数解析式，熟练掌握直线与抛物线的交点问题、勾股定理及共高的两三角形的面积问题是解题的关键．