Question

16．如图1，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点E，∠BAC=∠BDC，点G为△ACD内一点，AG交BD于点F，AG=DG，∠AGD=2∠ACD．
（1）求证：∠BAC=∠GAD；
（2）如图2，若CA=CD，求证：BA=BF；
（3）如图3，在（2）的条件下，当BE：EF=3：2，DF=12时，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由已知得出点A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理证出∠ABD=∠ACD，由等腰三角形的性质得出∠GAD=∠GDA，∠AGD=2∠ABD，由三角形内角和定理得出∠ABD+∠GAD=90°，∠ABD+∠BAC=90°，即可得出∠BAC=∠GAD；
（2）由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠CDA，由∠BAC=∠BDC=∠GAD，得出∠EAF=∠ADF，再由三角形的外角性质得出∠BAF=∠BFA，即可得出结论；
（3）设BE=3x，则EF=2x，BA=BF=5x，由勾股定理得出AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4x，由相交弦定理得出：AE•CE=BE•DE，求出CE=$\frac{3}{2}$x+9，得出CD=CA=4x+$\frac{3}{2}$x+9=$\frac{11}{2}$x+9，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，即可得出AB的长．

解答 （1）证明：∵∠BAC=∠BDC，
∴点A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AG=DG，∠AGD=2∠ACD．
∴∠GAD=∠GDA，∠AGD=2∠ABD，
∵∠AGD+2∠GAD=180°，
∴2∠ABD+2∠GAD=180°，
∴∠ABD+∠GAD=90°，
又∵AC⊥BD，
∴∠ABD+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠GAD；
（2）证明：∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BAC=∠BDC=∠GAD，
∴∠EAF=∠ADF，
∵∠BAF=∠BAC+∠EAF，∠BFA=∠GAD+∠ADF，
∴∠BAF=∠BFA，
∴BA=BF；
（3）解：∵BE：EF=3：2，
设BE=3x，则EF=2x，
∴BA=BF=5x，
∵AC⊥BD，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4x，
∵点A、B、C、D四点共圆，
∴由相交弦定理得：AE•CE=BE•DE，即4x•CE=3x•（2x+12），
∴CE=$\frac{3}{4}$（2x+12）=$\frac{3}{2}$x+9，
∴CD=CA=4x+$\frac{3}{2}$x+9=$\frac{11}{2}$x+9，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：（$\frac{3}{2}$x+9）²+（2x+12）²=（$\frac{11}{2}$x+9）²，
解得：x=2，或x=-3（舍去），
∴AB=5x=10．

点评 本题时四边形综合题目，考查了四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、勾股定理、相交弦定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要运用相交弦定理和勾股定理得出方程才能得出结果．