Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP=2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8  ∴BC=10

点D为BC的中点   ∴CD=5

可证△ABC∽△DEC

∴， 即

∴，

（2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，

在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，  ∴∠DEC=∠B

∵DE⊥BC，∠PDQ=90°  ∴∠PDQ=∠BDE=90°  ∴∠BDP=∠EDQ

∴△BPD∽△EQD  

∴，  即，

∴  

∴CQ=EC-EQ

②当点P在AB的延长线上时，同理可得：，

∴CQ=EC+EQ  

（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，∴点P在边AB上

∵△BPD∽△EQD    ∴

若设BP=x ，则，    可得    ∴∠QPD=∠C

又可证∠PDE=∠CDQ        ∴△PDF∽△CDQ

∵△PDF为等腰三角形       ∴△CDQ为等腰三角形

①当CQ=CD时，可得：   解得：

②当QC=QD时， 过点Q作QM⊥CB于M，

∴，

∴，   解得  

③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，

∴，

∴，   解得(不合题意，舍去)

∴综上所述，或