Question

6．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2$\sqrt{2}$？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）²+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0=a（3-1）²+4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1，
∴直线BD解析式为y=-x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，-m+3），M（m，-m²+2m+3），
∴PM=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，PM有最大值$\frac{9}{4}$；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，-x²+2x+3），则G（x，-x+3），
∴QG=|-x²+2x+3-（-x+3）|=|-x²+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2$\sqrt{2}$时，即QH=HG=2$\sqrt{2}$，
∴QG=$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4，
∴|-x²+3x|=4，
当-x²+3x=4时，△=9-16＜0，方程无实数根，
当-x²+3x=-4时，解得x=-1或x=4，
∴Q（-1，0）或（4，-5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．