Question

如图，△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，DE∥AB交AC于点E，过点C在△ABC外部作CF∥AB，AF⊥CF于点F．连接EF．

（1）求证：△AFC≌△ADC；
（2）判断四边形DCFE的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）四边形DCFE是菱形，理由详见解析.

试题分析：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形和菱形的判定等知识，根据已知得出DE∥FC是解题关键．（1）首先利用平行线的性质得出∠FCE=∠BCA，进而利用全等三角形的判定方法AAS得出△AFC≌△ADC；（2）利用利用（1）中得结论易得出DE=FC，DE//FC，故四边形DCFE是平行四边形；再由DE=DC可判定四边形DCFE是菱形．
试题解析：
（1）证明：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵DE∥AB，CF∥AB，
∴DE∥FC，∠BAC=∠DEC，
∴∠DEC=∠BCA，∠DEC=∠FCE，
∴∠FCE=∠BCA，
在△AFC和△ADC中，
∴△AFC≌△ADC（AAS）；
四边形DCFE是菱形；理由如下：
∵∠DEC=∠BCA，DC=FC，
∴DE=DC，DE=FC，
又∵DE//FC，
∴四边形DCFE是平行四边形，
又∵DE=DC，
∴平行四边形DCFE是菱形．