Question

15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧$\widehat{AC}$的长．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等，即可解决问题．
（2）利用直径所对的圆周角是直角，求出∠BAC，即可解决问题．
（3）连接OC，求出⊙O半径，∠AOC即可解决问题．

解答 （1）解：∵∠ADC=∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠ADC=60°

（2）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∵∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线．

（3）解：连接OC．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=4
∴AB=2BC=8，
∴OA=4，
∵∠AOC=2∠ADC，∠ADC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧$\widehat{AC}$的长=$\frac{120°×π×4}{180°}$=$\frac{8π}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、圆周角定理、弧长公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．