如图.在直角坐标系中.已知点A(3.0).B(-3.0).以点A为圆心.AB为半径的圆与x轴相交于点B.C.与y轴相交于点D.E．(1)若抛物线y=13x2+bx+c经过C.D两点.求抛物线的解析式.并判断点B是否在该抛物线上,中的抛物线的对称轴上求一点P.使得△PBD的周长最小,中的抛物线的对称轴上的一点.在抛物线上是否存在这样的点M.使得四边形BCQM是平行四边形?若存在.求出点M的坐标,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在直角坐标系中，已知点A（

，0），B（-

，0），以点A为圆心，AB为半径的圆与

x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
（1）若抛物线y=

x²+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

分析：（1）根据A（

，0），B（-

，0）可求圆半径是2

，连接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D两点坐标代入抛物线y=

x²+bx+c，可求抛物线解析式，将B点坐标代入解析式进行检验即可；
（2）由（1）知，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，连接CD，交抛物线对称轴于P点，P点即为所求，先求直线CD的解析式，已知P点横坐标x=

，代入直线CD的解析式即可求P；
（3）∵BC=4

，Q点横坐标是

，M在Q点左边，则M点横坐标为

-4

=-3

，代入抛物线解析式可求M点坐标．

解答：解：（1）∵OA=

，AB=AC=2

，
∴B（-

，0），C（3

，0），连接AD，

在Rt△AOD中，AD=2

，OA=

，
∴OD=

AD2-OA2

=3，
∴D的坐标为（0，-3），（3分）
又∵D，C两点在抛物线上，
∴

c=-3

•(3

)2+3

b+c=0

，
解得

b=-

c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=

x²-

x-3，（5分）
当x=-

时，y=0，
∴点B（-

，0）在抛物线上，（6分）

（2）∵y=

x²-

x-3，
=

（x-

）²-4，
∴抛物线y=

x²-

x-3的对称轴方程为x=

，（7分）
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．

∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由

n=-3

m+n=0

，
得

n=-3

，
∴直线DC的解析式为y=

x-3．
由

x-3

，
得

y=-2

，
故点P的坐标为(

，-2)．（9分）

（3）存在，设Q（

，t）为抛物线对称轴x=

上一点，
M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4

，
从而x_m=-3

，t=12，
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
故在抛物线上存在点M（-3

，12）或（5

，12）或（

，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．（12分）

点评：本题考查了点的坐标及二次函数解析式的求法，要求会在坐标系中求线段和最小的问题以及探求平行四边形的条件．

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