Question

（2013•西宁）在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．
（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；
（2）请证明你所得到的数学猜想．

Answer 1

分析：（1）猜想四边形ABCD是菱形；
（2）根据折叠的性质得到∠MAD=∠DAC=

1

2

∠MAC，∠CAB=∠NAB=

1

2

∠CAN，∠DCA=∠MCD=

1

2

∠ACM，∠ACB=∠NCB=

1

2

∠ACN，再根据正方形的性质得∠MAC=∠∠MCA=∠NAC=∠NCA，所以∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，于是可判断四边形ABCD为平行四边形，且DA=DC，然后根据菱形的判定方法得到四边形ABCD为菱形．

解答：解：（1）四边形ABCD是菱形；

（2）∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，
∴∠MAD=∠DAC=

1

2

∠MAC，
同理可得∠CAB=∠NAB=

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2

∠CAN，∠DCA=∠MCD=

1

2

∠ACM，∠ACB=∠NCB=

1

2

∠ACN，
∵四边形AMCN是正方形，
∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD为菱形．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的判定方法以及正方形的性质．