【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,6),B(8,0).点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AO运动;同时,点Q从O出发,以每秒2个单位的速度沿OB运动,当Q点到达B点时,P、Q两点同时停止运动.
(1)求运动时间t的取值范围;
(2)t为何值时,△POQ的面积最大?最大值是多少?
(3)t为何值时,以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似?
【答案】
(1)
解:∵点A(0,6),B(8,0),
∴OA=6,OB=8,
∵点Q从O出发,以每秒2个单位的速度沿OB运动,当Q点到达B点时,P、Q两点同时停止运动,
∴2t=8,
解得:t=4,
∴0≤t≤4;
(2)
解:根据题意得:经过t秒后,AP=t,OQ=2t,
∴OP=OA﹣AP=6﹣t,
∵△POQ的面积= OPOQ,
即△POQ的面积= (6﹣t)×2t=﹣t2+6t.
∵a=﹣1<0,
∴△POQ的面积有最大值,
当t=﹣ =3时,△POQ的面积的最大值= =9,
即当t=3时,△POQ的面积最大,最大值是9.
(3)
解:①若Rt△POQ∽Rt△AOB时,
∵Rt△POQ∽Rt△AOB,
∴ ,
即 = ,
解得:t= ;
②若Rt△QOP∽Rt△AOB时,
∵Rt△QOP∽Rt△AOB,
∴ ,
即 ,
解得:t= .
所以当t为 或 时,以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似.
【解析】(1)由点Q从O出发,以每秒2个单位的速度沿OB运动,当Q点到达B点时,P、Q两点同时停止运动,可得:2t=8,解得:t=4,进而可得:0≤t≤4;(2)先根据三角形的面积公式,用含有t的式子表示△POQ的面积=﹣t2+6t,然后根据二次函数的最值公式解答即可;(3)分两种情况讨论:①Rt△POQ∽Rt△AOB;②Rt△QOP∽Rt△AOB,然后根据相似三角形对应边成比例,即可求出相应的t的值.
【考点精析】掌握相似三角形的性质和相似三角形的应用是解答本题的根本,需要知道对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形;测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.
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【题目】如图所示:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点(﹣1,0),康康依据图象写出了四个结论:
①如果点(﹣ ,y1)和(2,y2)都在抛物线上,那么y1<y2;
②b2﹣4ac>0;
③m(am+b)<a+b(m≠1的实数);
④ =﹣3.
康康所写的四个结论中,正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的东南方向上的B处.这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果保留根号)
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【题目】如图,已知在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:
①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知等边△OAB的顶点A在反比例函数y= (x>0)图象上,当等边△OAB的顶点B在坐标轴上时,求等边△OAB顶点A的坐标和△OAB的面积.
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【题目】如图,在下列条件中,不能证明△ABD≌△ACD的是( ).
A.BD=DC, AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC
C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D. ∠B=∠C,BD=DC
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【题目】已知:如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,DE是经过点A的直线,作BD⊥DE,CE⊥DE,
(1)求证:DE=BD+CE.
(2)如果是如图2这个图形,我们能得到什么结论?并证明.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于D,AE平分∠BAD,交BC于E,在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使得BM=2DE,连接ME
①求证:ME⊥BC;
②求∠EMC的度数.
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【题目】已知:如图,△ABC是等边三角形,BD⊥AC,E是BC延长线上的一点,且∠CED=30°.
(1)求证:DB=DE.
(2)在图中过D作DF⊥BE交BE于F,若CF=3,求△ABC的周长.
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