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1.设t是实数,二次函数y=2x2+3tx-t的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0).
(1)求证:2x22-3tx1+3t>0;
(2)若A,B两点之间的距离不超过|$\frac{3}{2}$t-1|,求t的最大值.

分析 先根据抛物线与x轴的交点情况,得出9t2+8t>0,再有根与系数的关系得到,x1+x2=-$\frac{3t}{2}$,x1x2=-$\frac{t}{2}$,
(1)x2是2x2+3tx-t=0的一根得到2x22+3tx2-t=0结合前面结论判断即可;
(2)根据两点间的距离公式得出AB2=$\frac{9}{4}$t2+2t,(AB>0),列出方程求解即可.

解答 解:∵二次函数y=2x2+3tx-t的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0).
∴令y=0,得2x2+3tx-t=0,
∴△=(3t)2+8t=9t2+8t>0,
根据根与系数的关系有,x1+x2=-$\frac{3t}{2}$,x1x2=-$\frac{t}{2}$,
(1)x2是2x2+3tx-t=0的一根,
∴2x22+3tx2-t=0,
∴2x22-3tx1+3t
=2x22+3tx2-t-3tx1-3tx2+3t+t,
=-3t(x1+x2)+4t
=-3t×(-$\frac{3t}{2}$)+4t
=$\frac{1}{2}$(9t2+8t)>0,
即:2x22-3tx1+3t>0;
(2)∵二次函数y=2x2+3tx-t的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0).
∴AB2=(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=(-$\frac{3t}{2}$)2+2t=$\frac{9}{4}$t2+2t,
∵A,B两点之间的距离不超过|$\frac{3}{2}$t-1|,
∴AB≤|$\frac{3}{2}$t-1|,且AB>0,
∴AB2≤|$\frac{3}{2}$t-1|2
∴$\frac{9}{4}$t2+2t≤|$\frac{3}{2}$t-1|2
∴t≤$\frac{1}{5}$,
∴t的最大值为$\frac{1}{5}$.

点评 此题是抛物线与x轴交点题,主要考查了一元二次方程根的情况和韦达定理,解不等式,解此题的关键是韦达定理和方程根的结合应用.

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