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    已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
    （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
    （2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
    		2
    个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
    （1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
    由题意得
    -
    b
    2a
    =4
    c=12
    4a+2b+c=0
    ，
    解得
    a=1
    b=-8
    c=12
    ，
    ∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12，
    点P的坐标为（4，-4）；

    （2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：
    当y=0时，x2-8x+12=0，
    ∴x1=2，x2=6，
    ∴点B的坐标为（6，0），
    设直线BP的解析式为y=kx+m
    则
    6k+m=0
    4k+m=-4
    ，
    解得
    k=2
    m=-12

    ∴直线BP的解析式为y=2x-12
    ∴直线OD∥BP，
    ∵顶点坐标P（4，-4），
    ∴OP=4
    		2

    设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6-x）2
    当BD=OP时，（2x）2+（6-x）2=32，
    解得：x1=
    2
    5
    ，x2=2，
    当x2=2时，OD=BP=2
    		5
    ，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
    ∴当x=
    2
    5
    时四边形OPBD为等腰梯形，
    ∴当D（
    2
    5
    ，
    4
    5
    ）时，四边形OPBD为等腰梯形；

    （3）①当0＜t≤2时，
    ∵运动速度为每秒
    		2
    个单位长度，运动时间为t秒，则MP=
    		2
    t，
    ∴PH=t，MH=t，HN=
    1
    2
    （4-t），
    ∴MN=MH+HN=2+
    1
    2
    t，
    ∴S=（2+
    1
    2
    t）•t•
    1
    2
    =
    1
    4
    t2+t；
    ②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
    ∵MN∥OB
    ∴△P1EF∽△P1MN，
    ∴
    S△P1EF
    S△P1MN
    =(
    P1G
    P1H
    )2    ，
    ∴
    S△P1EF
    3
    4
    t2
    =(
    2t-4
    t
    )2    ，
    ∴S△P1EF=3t2-12t+12，
    ∴S=
    3
    4
    t2-（3t2-12t+12）=-
    9
    4
    t2+12t-12，
    ∴当0＜t≤2时，S=
    3
    4
    t2，
    当2＜t＜4时，S=-
    9
    4
    t2+12t-12．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB是⊙O1和⊙O2的外公切线，A、B为切点，且∠ACB=90°．以AB所在直线为轴，过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系，已知AO=4，OB=1．
    （1）分别求出A、B、C各点的坐标；
    （2）求经过A、B、C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
    （3）如果⊙O1的半径是5，问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O1O2上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上．
    （1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式．
    （2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径．
    （3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED+EC+FD+FC最小时，EF的长．
    （4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，则说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    世纪广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管，喷水最高点A离地面为3米．此时A点离喷水口水平距离为
    1
    2
    米，在如图所示直角坐标系中，这支喷泉的函数关系式是______．（不要求指出自变量x的取值范围）．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知：抛物线y=ax2+bx+c经过原点（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）两点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，以OC为直径作⊙M，如果过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，且与y轴的正半轴交点为E，连接MD，已知E点的坐标为（0，m），求四边形EOMD的面积（用含m的代数式表示）；
    （3）延长DM交⊙M于点N，连接ON，OD，当点P在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得四边形EOMD和△DON的面积相等，请求出此时点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A的坐标为（2，2），点B、C在y轴上，BC=8，AB=AC，直线AB与x轴相交于点D．
    （1）求点C、D的坐标；
    （2）求图象经过A、C、D三点的二次函数解析式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    小张同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
    问：小张如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
    （学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知二次函数y=-
    1
    4
    x2+
    3
    2
    x    的图象如图所示．

    （1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
    （2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移k个单位，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
    （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
    （4）在（2）的条件下，平行于x轴的直线x=t（0＜t＜k）分别交AC、BC于E、F两点，试问在x轴上是否存在点P，使得△PEF是等腰直角三角形？若存在，请直接写P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线y=
    1
    4
    x2+1，直线y=kx+b经过点B（0，2）
    （1）求b的值；
    （2）将直线y=kx+b绕着点B旋转到与x轴平行的位置时（如图1），直线与抛物线y=
    1
    4
    x2+1相交，其中一个交点为P，求出P的坐标；
    （3）将直线y=kx+b继续绕着点B旋转，与抛物线相交，其中一个交点为P'（如图②），过点P'作x轴的垂线P'M，点M为垂足．是否存在这样的点P'，使△P'BM为等边三角形？若存在，请求出点P'的坐标；若不存在，请说明理由．

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