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    （2013•泉州）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
    （1）求EF的长；
    （2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
    ①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明
    OH
    BG
    =
    EO
    AE
    ；
    ②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：
    OP
    BG
    =
    1
    2
    ，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
    （3）在（2）中，若点M（2，
    		3
    ），探索2PO+PM的最小值．
    分析：（1）利用正方形与平行线的性质，易求线段EF的长度．
    （2）①首先依题意画出图形，如答图1所示．证明△OFH∽△BFG，得
    OH
    BG
    =
    OF
    BF
    ；由EF∥AB，得
    OF
    BF
    =
    EO
    AE
    ．所以
    OH
    BG
    =
    EO
    AE
    ；
    ②由OP=OH，则问题转化为证明
    OH
    BG
    =
    1
    2
    ．根据①中的结论，易得
    OH
    BG
    =
    EO
    AE
    =
    1
    2
    ，故问题得证．
    （3）本问为探究型问题，利用线段性质（两点之间线段最短）解决．如答图2所示，构造矩形，将2PO+PM转化为NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
    解答：（1）解：解法一：在正方形OABC中，
    ∠FOE=∠BOA=
    1
    2
    ∠COA=45°．
    ∵EF∥AB，
    ∴∠FEO=∠BAO=90°，
    ∴∠EFO=∠FOE=45°，
    又E（-2，0），
    ∴EF=EO=2．
    解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
    ∴OA=AB=6，EO=2，
    ∵EF∥AB，
    ∴
    EF
    AB
    =
    OE
    OA
    ，即
    EF
    6
    =
    2
    6
    ，
    ∴EF=6×
    2
    6
    =2．

    （2）①画图，如答图1所示：

    证明：∵四边形OABC是正方形，
    ∴OH∥BC，
    ∴△OFH∽△BFG，
    ∴
    OH
    BG
    =
    OF
    BF
    ；
    ∵EF∥AB，
    ∴
    OF
    BF
    =
    EO
    AE
    ；
    ∴
    OH
    BG
    =
    EO
    AE
    ．
    ②证明：∵半圆与GD交于点P，
    ∴OP=OH．
    由①得：
    OP
    BG
    =
    OH
    BG
    =
    EO
    EA
    ，
    又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
    ∴
    OP
    BG
    =
    EO
    EA
    =
    1
    2
    ．
    通过操作、观察可得，4≤BG≤12．

    （3）解：由（2）可得：
    OP
    BG
    =
    1
    2
    ，
    ∴2OP+PM=BG+PM．
    如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
    ∴NK=BG．

    ∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
    当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
    又∵NK+KM≥MN=8，
    当点K在线段MN上时，等号成立．
    ∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
    点评：本题是几何综合题，主要考查了相似三角形与圆的相关知识．图中线段较多，注意理清关系．第（1）（2）问考查几何基础知识，难度不大；第（3）问考查几何最值问题，有一定的难度．需要注意的是：线段的性质（两点之间线段最短）是初中数学常见的最值问题的基础，典型的展开图-最短路线问题、轴对称-最短路线问题，均是利用这一性质，希望同学们能够举一反三、触类旁通．
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