【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D。
(1)求证:BC是⊙O切线;
(2)若BD=5,DC=3,求AC的长。
【答案】
(1)证明:连接OD;
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠3.
∵OA=OD,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∴OD∥AC.
∴∠ODB=∠ACB=90°.
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O切线.
(2)蛸:过点D作DE⊥AB,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴CD=DE=3.
在Rt△BDE中,∠BED=90°,
由勾股定理得:BE= =4,
∵∠BED=∠ACB=90°,∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC.
∴ .
∴ .
∴AC=6.
【解析】(1)要证BC是⊙O切线.添加辅助线连接OD,证明OD⊥BC。先根据角平分线的定义及等腰三角形的性质,证出OD∥AC(或∠2+∠ADC=90°),再利用平行线的性质得出OD⊥BC,即可证得结论。
(2)过点D作DE⊥AB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等,得出CD=DE=3,再利用勾股定理求出BE的长,再根据两组角对应相等的两三角形相似,得出△BDE∽△BAC。得出对应边成比例,建立方程,求解即可;或证明AE=AC,在Rt△ABC中,利用勾股定理求出AC即可。
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【题目】如图,已知点A(3,0),以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线l.
(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求DE的长;
(3)点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与△EAD相似时,求出BF的长 .
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【题目】已知关于 的一元二次方程 x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根 x1 和 x2 .
(1)求实数 m 的取值范围;
(2)当 x12-x22 时,求 m 的值.
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【题目】如图,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为点 D.下列说法中:①∠B的余角只有∠BAD;②∠B=∠C;③线段 AB 的长度表示点 B 到直线 AC 的距离;④AB·AC=BC·AD;一定正确的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【题目】如图,直线l1对应的函数表达式为y=2x-2,直线l1与x轴交于点D.直线l2:y=kx+b与x轴交于点A,且经过点B,直线l1,l2交于点C(m,2).
(1)求点D,点C的坐标;
(2)求直线l2对应的函数表达式;
(3)求△ADC的面积;
(4)利用函数图象写出关于x,y的二元一次方程组的解.
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【题目】小明从家出发,沿一条直道散步到离家450 m的邮局,经过一段时间原路返回,刚好在第12 min回到家中.设小明出发第t min时的速度为v m/min,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).
(1)小明出发第2 min时离家的距离为 m;
(2)当2< t ≤6时,求小明的速度a;
(3)求小明到达邮局的时间.
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【题目】甲组的名工人12月份完成的总工作量比此月人均定额的倍多件,乙组的名工人12月份完成的总工作量比此月人均定额的倍少件.
(1)如果两组工人实际完成的此月人均工作量相等,那么此月的人均定额是多少件?
(2)如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组工人实际完成的此月人均工作量少3件,那么此月人均定额是多少件?
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【题目】如图所示,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC,AD于E,F两点,交BA的延长于G,判断弧EF和弧FG是否相等,并说明理由。
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