Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD为直径作⊙O₁交AD于点Ｅ，过点Ｅ作ＥF⊥AB于点F．建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0）、B（0，）．

1.求C、D两点的坐标；

2.求证：ＥF为⊙O₁的切线

3.线段CD上是否存在点P，使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与y轴相切．如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 

1.连结CE

  ∵CD是⊙O₁的直径     ∴CE⊥x轴

∴在等腰梯形ABCD中，EO=BC=2，

CE=BO=，DE=AO=2∴DO=4， 

故C（）D（） （3分）

2.连结O₁E，在⊙O₁中，O₁D= O₁E，∠O₁DE=∠1，

又在等腰梯形ABCD中 ∠CDA=∠BAD

∴∠1=∠BAD       ∴O₁E∥BA

又∵EF⊥BA       ∴O₁E⊥EF

∵E在⊙O₁上   ∴EF为⊙O₁的切线．   （6分）

3.存在满足条件的点P.

   作PH⊥OD于H,作PM⊥y轴于M.

   则当PM=PD时,⊙P于y轴相切.

在矩形PHOM中,OH=PM

设OH=m, 则PM=PD=m, DH=4-m

∵tan∠OAB=

∴∠OAB=60°

∴∠PDH=∠OAB=60°

在Rt△PDH中,cos∠PDH=,即: , m=,

 则PH=DH·tan∠PDH=(4-m)

∴ 满足条件的P点坐标为() （12分）

解析:（1）连CE，根据圆周角定理的推论得到CE⊥DE，再根据等腰梯形的性质得DE=OA=2，则OD=2+2=4，即可写出C点坐标和D点坐标；

（2）AB=4，易得∠DCE=30°，则∠CDE=∠A=60°，得到△O₁DE为等边三角形，则∠O₁ED=60°，而EF⊥AB，有∠FEA=30°，于是∠O₁EF=90°，根据切线的判定即可得到结论；

（3）设⊙与y轴相切于F，连PF，过C作CE⊥x轴与E，交PF于H，⊙P的半径为R，根据切线的性质得PF⊥y轴，则PD=PF=R，所以有PH=R-2，PC=4-R，DE=2，易证得Rt△CPH∽Rt△GDF，理由相似比可求出R和CH，可得到HE，即可写出P点坐标．