Question

已知方程x2+mx+

1

2

=0的两根为一个直角三角形ABC两锐角A、B的正弦，则m的值为

 

．

Answer 1

分析：利用互余两角三角函数的关系sinA=cosB、韦达定理求得（cosB+sinB）²=cos²B+sin²B+2cosB•sinB，即m²=2，然后根据正余弦三角函数值来确定m的取值范围，并求m的值．

解答：解：∵方程x2+mx+

1

2

=0的两根为一个直角三角形ABC两锐角A、B的正弦，
∴sinA=cosB；
∴由韦达定理，得
sinA+sinB=cosB+sinB=-m，①
sinA•sinB=cosB•sinB=

1

2

，②
∴（cosB+sinB）²=cos²B+sin²B+2cosB•sinB，③
由①②③，得
m²=1+2×

1

2

=2，即m²=2，
解得，m=±

2

，
又-m＞0，∴m＜0，
∴m=-

2

；
故答案是：-

2

．

点评：本题考查了根与系数的关系、互余两角三角函数的关系．解答本题的关键是知道sinA=cosB、cos²B+sin²B=1这两个算式．另外，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．