Question

在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（3，0）．
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，-3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点．若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求此抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）设过抛物线A，B两点，且与y轴交于点（0，-3），的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A（-1，0），B（3，0），点（0，-3）代入
得，
解得，
故此抛物线的解析式为y=x²-2x-3，顶点坐标为（1，-4）；

（2）由题意，设y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），M（1，-4a），
∴S_△ACB=×4×|-3a|=6|a|，
而a＞0，
∴S_△ACB=6a．
作MD⊥x轴于D，
又S_△ACM=S_△ACO+S_OCMD-S_△AMD=•1•3a+（3a+4a）-•2•4a=a，
∴S_△ACM：S_△ACB=1：6；

（3）①当抛物线开口向上时，
设y=a（x-1）²+k，
即y=ax²-2ax+a+k，
有菱形可知|a+k|=|k|，a+k＞0，k＜0，
∴k=，
∴y=ax²-2ax+，
∴|EF|=
记l与x轴交点为D，
若∠PEM=60°，则∠FEM=30°，MD=DE•tan30°=，
∴k=-，a=，
∴抛物线的解析式为y=x²-x+
若∠PEM=120°，则∠FEM=60°，MD=DE•tan60°=，
∴k=-，a=，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x+
②当抛物线开口向下时，同理可得y=-x²+x-，
y=-x²+2x-．
分析：（1）由于抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，-3），可用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标；
（2）先设出过A，B两点抛物线的解析式，作MD⊥x轴于D，再分别求出A、B、C、M各点的坐标，再根据图形求各三角形的面积，最后由三角形之间的和差关系△ACM的面积进行计算；
（3）因为已知抛物线的顶点坐标及与y轴的交点，可设出抛物线的解析式，由于不明确抛物线的开口方向，故应分类讨论．在进行分类讨论时还要注意讨论哪个角为60°，不要漏解．
点评：此题比较复杂，综合性较强，考查的是二次函数图象上点的坐标特点，及三角形的面积，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差”关系求解．在解（3）时一定要分类讨论．