Question

12．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）连结OD，由于OA=OD，∠BAD=45°，所以∠AOD=90°，根据平行四边形的性质得AD∥BC，则∠ODC=∠AOD=90°，于是可根据切线的判定定理判断CD为⊙O的切线；
（2）根据梯形和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S_梯形OBCD-S_扇形BOD进行计算即可．

解答 解：（1）直线CD与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OA=OD，∠DAB=45°，
∴∠AOD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ODC=∠AOD=90°，
即OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）阴影部分的面积=S_梯形OBCD-S_扇形BOD
=$\frac{1}{2}$（2+4）×2-$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$=6-π．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行四边形的性质和扇形面积公式．