Question

如图，已知抛物线C₁：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是．
【小题1】求点坐标及的值；
【小题2】如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向左平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C₃的解析式；
【小题3】如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．

Answer 1

【小题1】由抛物线C₁：得顶点P的坐标为（2，5）
∵点A（－1，0）在抛物线C₁上∴
【小题2】连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..
∵点P、M关于点A成中心对称,∴PM过点A，且PA＝MA..∴△PAH≌△MAG..∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.∴顶点M的坐标为（，5）
∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，抛物线C₃由C₂平移得到
∴抛物线C₃的表达式

【小题3】∵抛物线C₄由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称. 由（2）得点N的纵坐标为5.设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.∵旋转中心Q在x轴上,
∴EF＝AB＝2AH＝6.
∴EG＝3，点E坐标为（，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，－5）.
根据勾股定理，得
  
 
   
①当∠PNE＝90º时，PN²+ NE²＝PE²，
解得m＝，∴N点坐标为（，5）
②当∠PEN＝90º时，PE²+ NE²＝PN²，
解得m＝，∴N点坐标为（，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º ………7分
综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．

解析