Question

【题目】定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．

观察猜想

（1）线段与 “等垂线段”（填“是”或“不是”）

猜想论证

（2）绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．

拓展延伸

（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）49

【解析】

（1）根据题意，利用等腰三角形和三角形中位线定理得出，∠MPN=90°判定即可；

（2）由旋转和三角形中位线的性质得出，再由中位线定理进行等角转换，得出∠MPN=90°，即可判定；

（3）由题意，得出最大时，与的积最大，点在的延长线上，再由（1）（2）结论，得出与的积的最大值.

（1）是；

∵，

∴DB=EC，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB

∴DE∥BC

∴∠EDC=∠DCB

∵点、、分别为、、的中点

∴PM∥EC，PN∥BD，

∴，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC

∵∠DPN=∠PNC+∠DCB

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°

∴线段与是“等垂线段”；

（2）由旋转知

∵，

∴≌（）

∴，

利用三角形的中位线得，，

∴

由中位线定理可得，

∴，

∵

∴

∵

∴

∴

∴与为“等垂线段”；

（3）与的积的最大值为49；

由（1）（2）知，

∴最大时，与的积最大

∴点在的延长线上，如图所示：

∴

∴

∴.