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11.已知:如图?ABCD中,CD=CB=3,∠C=60°,点E是CD边上自C向D的动点(点E到点D停止运动),连结AE,以AE为边作等边△AEP,连结DP.
(1)求证:△ABE≌△ADP;
(2)当点E运动到点D处,作△ADP的外接圆⊙O,判断直线AB与⊙O的位置关系,并说明理由.
(3)点P随点E的运动而运动,请直接写出点P的运动路径长3.

分析 (1)首先证明∠PAD=∠BAE,则根据SAS即可证明两个三角形全等;
(2)根据△ADP是等边三角形,则O是三角形ADP的中心,即可求得∠DAO=30°,从而证明∠BAO=90°,则AB与⊙O相切;
(3)在运动过程中,始终保持△ABE≌△ADP,则点P的运动路径长等于E点运动的路径长,据此即可求解.

解答 (1)证明:∵?ABCD中,CD=CB,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠C=∠BAD=60°.
∵△AEP是等边三角形,
∴AP=AE,∠PAE=60°,
∴∠PAD=∠BAE,
∴△ABE和△ADP中,
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠PAD=∠EAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ADP;
(2)解:直线AB于⊙O相切.
连接OA,
∵△PAD是等边三角形,
∴∠DAO=30°,
∴∠BAO=∠DAO+∠DAB=90°,
又∵A在⊙O上,
∴AB与⊙O相切;
(3)解:∵在运动过程中,始终保持△ABE≌△ADP,
∴点P的运动路径长=CD=3.
故答案是:3.

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质,正确证明∠PAD=∠BAE是解决本题的关键.

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